范畴论中的幺半群

一、幺半群（集合视角）

monoid （幺半群）是一个定义了二元运算的集合

1. 有单位元 (mempty)
2. 二元运算满足结合律 (mappend：A -> A -> A)

二、幺半群（范畴视角）

假设集合 A 是一个幺半群，我们可以立即得到一个 monoid category C，范畴 C 只有一个对象 A（ one object category），那范畴 C 的态射是什么呢？注意到 mappend 的类型签名可以写成 A -> (A -> A)，即对任意的 a 属于 A，我们都可以得到一个态射

由于 f 是 A -> A 的，所以 C 的态射 Mor(C) 定义为 {mappend a | a 属于 A} 即可，可以验证是满足范畴的定义的。

所以，即任何一个幺半群集合同时也可以看作范畴。

三、幺半群范畴里也有一个幺半群集合

任何一个 one object category 都自带了一个 Monoid，即 Hom-set C(A,A)， Hom-set C(A, A) 是一个集合，里面的每个元素都是 A -> A 的 arrow 。

为什么 C(A,A) 是一个 monoid 呢？因为我们可以定义一个符合结合律的二元运算 comp（函数组合），对任意的f,g属于 C(A,A)，f、g 一定可comp（因为domain/codomian兼容），且由于 C 是一个范畴，comp 所得的结果也属于 C(A,A)，而且 comp 运算符合结合律。再定义幺元为 id（这样 id comp f = f comp id 满足了 monoid 集合单位元的定义）

所以，monoid set A 看做 monoid category 时，我们不仅得到了一个单元素范畴，这个单元素范畴的态射构成的集合又得到了一个 monoid set